Nguyên hàm - Dạng toán trọng tâm và phương pháp giải

Cho hàm số f(x) xác định trên K. 

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K

Nếu F'(x)=f(x) với mọi x thuộc K.

Định lý 1:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Định lý 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số F(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số.

\(\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad(n \neq-1)\)

\(\int \sin x d x=-\cos x+C\)

\(\int \cos x d x=\sin x+C\)

\(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C\)

\(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C\)

\(\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\)

\(\int e^{x} d x=e^{x}+C\)

\(\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\)

\(\int u^{n} d x=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C \quad(n \neq-1)\)

\(\int \sin u d u=-\cos u+C\)

\(\int \cos u d u=\sin u+C\)

\(\int \frac{1}{\cos ^{2} u} d u=\tan u+C\)

\(\int \frac{1}{\sin ^{2} u} d u=-\cot u+C\)

\(\int \frac{1}{u} d u=\ln |u|+C\)

\(\int e^{u} d u=e^{u}+C\)

\(\int a^{u} d u=\frac{a^{u}}{\ln a}+C\)

Tìm nguyên hàm của \(f(x)=3 x+\cos 3 x\)

giải:

Ta có: \(\int(3 x+\cos 3 x)=\frac{3 x^{2}}{2}+\frac{\sin 3 x}{3}+C\)

Tìm nguyên hàm của : \(f(x)=2^{x}+e^{x}\)

giải:

\(\int\left(2^{x}+e^{x}\right) d x=\int 2^{x} d x+\int e^{x} d x\)

\(=\frac{2^{x}}{\ln 2}+e^{x}+C\)

Biết rằng \(F(x)=\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) e^{x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\left(2 x^{3}+9 x^{2}-2 x+5\right) e^{x}\). Tính \(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\)

giải:

Ta có:

 \(F^{\prime}(x)=\left(3 a x^{2}+2 b x+c\right) e^{x}+\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) e^{x}\)

\(=\left[a x^{3}+(3 a+b) x^{2}+(2 b+c) x+c+d\right] e^{x}\)

Do đó:

\(\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ 3 a+b=9 \\ 2 b+c=-2 \\ c+d=5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=3 \\ c=-8 \\ d=13\end{array}\right.\right.\)

=> \(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=246\)

Cho hàm số f(x) xác định trên R\\(\{-1\}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{3}{x+1}\); f(0)=1 và \(f(1)+f(-2)=2\). Giá trị \(f(-3)\) bằng:

giải:

Ta có:

 \(\int f^{\prime}(x) d x=3 \ln |x+1|+C(x \neq-1)\)

Nếu

 \(x\gt -1 \Rightarrow f(x)=3 \ln (x+1)+C_{1}\) mà \(f(0)=1 \Rightarrow C_{1}=1\)

Vậy

 \(f(x)=3 \ln (x+1)+1\) khi \(x\gt -1\)

Tương tự

 \(f(x)=3 \ln (-x-1)+C_{2}\) khi \(x\lt -1\)

Do

\(f(1)+f(-2)=2 \Rightarrow 3 \ln 2+1+C_{2}=2 \Rightarrow C_{2}=1-3 \ln 2\)

=> \(f(-3)=3 \ln 2+1-3 \ln 2=1\)

Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{1}{2}\right\}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{2}{2 x-1}, f(0)=1\) và \(f(1)=2\). 

Giá trị biểu thức f(-1)+f(3)=?

giải:

Ta có:

\(\int f^{\prime}(x) d x=\ln |2 x-1|+C\left(x \neq \frac{1}{2}\right)\)

Hàm số gián đoạn tại điểm \(x=\frac{1}{2}\)

Nếu

 \(x\gt \frac{1}{2} \Rightarrow f(x)=\ln (2 x-1)+C_{1}\) mà \(f(1)=2 \Rightarrow C_{1}=2\)

Vậy

\(f(x)=\ln (2 x-1)+2\) khi \(x\gt \frac{1}{2}\)

Tương tự

\(f(x)=\ln (2 x-1)+C_{2}\) khi \(x\lt \frac{1}{2}\) mà \(f(0)=1 \Rightarrow C_{2}=1\)

Do đó

\(f(-1)+f(3)=\ln 3+1+\ln 5+2=\ln 15+3\)

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=e^{x}+2 x\) thỏa mãn \(F(0)=\frac{3}{2}\). Tìm F(x)?

giải:

Ta có:

\(F(x)=\int\left(e^{x}+2 x\right) d x=e^{x}+x^{2}+C\)

Mà:

\(F(0)=\frac{3}{2} \Rightarrow 1+C=\frac{3}{2} \Rightarrow C=\frac{1}{2} \Rightarrow F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{1}{2}\)

Cho F(x) là một NH của hàm số \(f(x)=2 \cos 3 x-3^{x-1}\) thõa F(0)=0. Tìm F(x)?

giải:

Ta có :

\(F(x)=\int f(x) d x=\int 2 \cos 3 x d x-\int 3^{x-1} d x\)

\(=\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{1}{3} \int 3^{x} d x\)

\(==\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x}}{3 \ln 3}+C\)

Mặt khác:

\(F(0)=0 \Rightarrow-\frac{1}{3 \ln 3}+C=0 \Leftrightarrow C=\frac{1}{3 \ln 3}\)

Vậy:

\(F(x)=\frac{2 \sin 3 x}{3}-\frac{3^{x}}{3 \ln 3}+\frac{1}{3 \ln 3}\)