Nghiệm, hợp nghiệm và gộp nghiệm trong lượng giác

Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đường tròn lượng giác. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện.

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ:

- Điểm biểu diễn cung \(a\) và \(\alpha+\mathrm{k} 2 \pi, k \in Z\) là trùng nhau

- Để biểu diễn cung \(a+k 2 \pi / n\) lên đường tròn lượng giác ta cho \(k\) nhận \(n\) giá trị (thường chọn \(k=0,1\), \(2, \ldots, n-1)\) ) nên ta có được \(n\) điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều \(\mathrm{n}\) cạnh nội tiếp đường tròn.

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm \(\quad \alpha+\frac{k \pi}{n}\) và \(+\frac{l \pi}{m}\), trong đó \(\mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{Z}\) đã biết, còn \(\mathrm{k}, \mathrm{I} \in \mathrm{Z}\) là các chỉ số chạy.

Ta xét phương trình :

Với a,b,c là các số nguyên.Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:

- Phương trình (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow d=(a, b)\) là ước của \(\mathrm{c}\)- Nếu phương trình (1) có nghiệm \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) thì (1) có vô số nghiệm

Phương pháp 3: Thử trực tiếpPhương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra.

Câu 1: Giải phương trình:cot3x \(=\cot x\)

Biểu diễn các nghiệm của hệ phương trình điều kiện và nghiệm của phương trình lên vòng tròn lượng giác ta được:

Cách 1: 

• Biểu diễn các điểm cuối của cung \(\mathrm{k} \pi / 3\) ta có các điểm \(\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \mathrm{~A}_{3}, \mathrm{~A}_{4}, \mathrm{~A}_{5}, \mathrm{~A}_{6}\).
• Biểu diễn các điểm cuối của cung \(n \pi / 2\) ta có các điểm \(B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}\).

Ta thấy \(\mathrm{A}_{1} \equiv \mathrm{B}_{1}, \mathrm{~A}_{4} \equiv \mathrm{B}_{3}\).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x=\pi / 2+m \pi\).

Cách 2:

Ta có \(\frac{\mathrm{n} \pi}{2}=\frac{\mathrm{k} \pi}{3} \Leftrightarrow \mathrm{n}=\frac{2 \mathrm{k}}{3} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{k}=3 \mathrm{t} \\ \mathrm{n}=2 \mathrm{t}\end{array}\right.\)

Do đó ta cần loại những giá trị n chẵn.

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x=\pi / 2+m \pi\).

Ví dụ 2: Giải phương trình: \(\cot 4 x \cdot \cot 7 x=1\)

. Điều kiện: \(\left\{\begin{array}{l}x \neq \frac{k \pi}{4} \\ x \neq \frac{\mathrm{n} \pi}{7}\end{array}\right.\).Phương trình \(\Leftrightarrow \cot 7 x=\tan 4 x=\cot \left(\frac{\pi}{2}-4 x\right)\)

- Ta có: \(\frac{\pi}{22}+\mathrm{m} \frac{\pi}{11}=\frac{\mathrm{k} \pi}{4} \Leftrightarrow 2+4 \mathrm{~m}=11 \mathrm{k} \Leftrightarrow \mathrm{m}=3 \mathrm{k}-\frac{\mathrm{k}+2}{4}\)Vì \(\mathrm{m}, \mathrm{k} \in \dot{c} \Rightarrow \frac{\mathrm{k}+2}{4}=\mathrm{t} \Rightarrow \mathrm{k}=4 \mathrm{t}-2 \Rightarrow \mathrm{m}=11 \mathrm{t}-6\)- Ta có: \(\frac{\pi}{22}+\frac{\mathrm{m} \pi}{11}=\frac{\mathrm{n} \pi}{7} \Leftrightarrow 7+14 \mathrm{~m}=22 \mathrm{n} \Rightarrow 22 \mathrm{n}-14 \mathrm{~m}=7\)Vì \(22 n-14 m\) là số chẵn còn 7 là số lẻ nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

Ví dụ 3: Giải phương trình: \(\cos 3 x \cdot \tan 4 x=\sin 5 x\).

Điều kiện: \(\cos 4 x \neq 0\)

Phương trình

- Với \(x=k \pi\) thì \(\cos 4 \mathrm{x}=\cos 4 k \pi=1 \neq 0\).- Với \(x=\frac{\pi}{16}+\frac{k \pi}{8}\) thì \(\cos 4 \mathrm{x}=\cos \left(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}\right) \neq 0\) đúng với mọi \(\mathrm{k}\).

Vậy nghiệm của phương trình là: \(\left[\begin{array}{c}x=k \pi \\ x=\frac{\pi}{16}+\frac{k \pi}{8}\end{array}, k \in Z\right.\)

Ví dụ 4: Giải phương trình:

Giải phương trình (2) ta có các nghiệm:

Vì các nghiệm của phương trình phải thỏa điều kiện (1) nên ta tìm cách biểu diễn các nghiệm qua sinx.\(\bullet \cos \mathrm{x}=0.5 \Leftrightarrow \mathrm{x}= \pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi, k \in Z\).

Mà ta có \(\sin \left(\frac{\pi}{3}+k 2 \pi\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\) và \(\sin \left(-\frac{\pi}{3}+k 2 \pi\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Vậy phương trình có một nghiệm là: \(\mathrm{x}=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi\).- \(\cos \mathrm{x}=\frac{1-\sqrt{13}}{4} \Leftrightarrow x= \pm \arccos \left(\frac{1-\sqrt{13}}{4}\right)+k 2 \pi\).

Kết hợp với điều kiện \(\sin x \geq 0\).

Ta thu được nghệm \(\mathrm{x}=\arccos \left(\frac{1-\sqrt{13}}{4}\right)+k 2 \pi, k \in Z\).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: