Lý thuyết đạo hàm và bài tập tự luyện

Đạo hàm của hàm sơ cấp                                   Đạo hàm của hàm hợp \(u=u(x)\)

1. \((C)^{\prime}=0, C\) là hằng số

2. \((x)^{\prime}=1\)

3. \(\left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}\)                                               \(\left(u^{a}\right)^{\prime}=\alpha \cdot u^{a-1} \cdot u^{\prime}\)                  

4. \(\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\)                                                     \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}\)

5. \((\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)                                                    \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\)

6. \(\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\)                                                          \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\)

7. \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a ; a \in \mathbb{R}^{+} \backslash\{1\}\)                         \(\left(a^{a}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^{u} \cdot \ln a\)

8. \((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\)                                                        \((\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\)

9. \(\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln a}\)                                               \(\left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}\)

10. \((\sin x)^{\prime}=\cos x\)                                                \((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\)

11. \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\)                                            \((\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u\)

12. \((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\)                       \((\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^{2} u}=u^{\prime}\left(1+\tan ^{2} u\right)\)

13. \((\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^{2} x}=-1\left(1+\cot ^{2} u\right)\)             \((\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^{2} u}=-u^{\prime}\left(1+\cot ^{2} u\right)\)

14. \((\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)                                        \((\arcsin u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

15. \((\arccos x)^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)                                        \((\arccos u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

16. \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\)                                          \((\arctan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

17. \((\operatorname{arccot} x)^{\prime}=\frac{-1}{1+x^{2}}\)                                           \((\operatorname{arccot} u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

Câu 1 . Cho hàm số \(y=f(x)\) có \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1\) và \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-1\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng \(y=1\) và \(y=-1\)

C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng \(x=1\) và \(x=-1\)

D. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang

Câu 2 . Biết rằng đường thẳng \(y=-2 x+2\) cắt đồ thị hàm số \(y=x^{3}+x+2\) tại điểm duy nhất; kí hiệu \(\left(x_{0} ; y_{0}\right)\) là tọa độ của điểm đó. Tìm \(y_{0}\)

A. \(y_{0}=2\)

B. \(y_{0}=0\)

C. \(y_{0}=4\)

D. \(y_{0}=-1\)

Câu 3 . Một vật chuyển động theo quy luật \(s=-\frac{1}{2} t^{3}+9 t^{2}\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu

A. \(216(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\).

B. \(54(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\).

C. \(400(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\).

D. \(30(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\).

Câu 4. Cho hàm số \(y=f x\) có bảng biến thiên như hình vẽ

Tìm \(m\) để phương trình \(f x=2-3 m\) có bốn nghiệm phân biệt

A. \(m \leq-1\).

B. \(-1\lt m\lt -\frac{1}{3}\).

C. \(m=-\frac{1}{3}\).

D. \(m\lt -1\) hoặc \(m\gt -\frac{1}{3}\).

Câu 5. Giả sử hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \(x_{0}-h ; x_{0}+h\), với \(h\gt 0\). Khẳng định nào sau đây luôn đúng

A. Nếu \(f^{\prime \prime}\left(x_{o}\right)=0\) thì hàm số \(y=f(x)\) đạt cực đại tại \(x_{o}\).

B. Nếu \(f^{\prime}\left(x_{o}\right)=0\) và \(f^{\prime \prime}\left(x_{o}\right)>0\) thì hàm số \(y=f(x)\) đạt cực đại tại \(x_{o}\).

C. Nếu \(f^{\prime}\left(x_{o}\right)=0\) và \(f^{\prime \prime}\left(x_{o}\right)\lt 0\) thì hàm số \(y=f(x)\) đạt cực đại tại \(x_{o}\).

D. Nếu \(f^{\prime}\left(x_{o}\right)=0\) và \(f^{\prime \prime}\left(x_{o}\right)\lt 0\) thì hàm số \(y=f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_{o}\).

Câu 6. Đường cong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hãy chọn phương án đúng

A. \(y=x^{4}-x^{2}-1\).

B. \(y=-x^{4}+x^{2}-1\).

C. \(y=x^{4}+x^{2}-1\).

D. \(y=x^{3}+2 x-1\).

Câu 7. Trên đoạn \([-1 ; 1]\), hàm số \(y=-\frac{4}{3} x^{3}-2 x^{2}-x-3\)

A. Có giá trị nhơ nhất tại \(x=-1\) và giá trị lớn nhất tại \(x=1\).

B. Có giá trị nhỏ nhất tại \(x=1\) và giá trị lớn nhất tại \(x=-1\).

C. Có giá trị nhỏ nhất tại \(x=-1\) và không có giá trị lớn nhất.

D. Không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất tại \(x=1\).

Câu 8. Tìm \(m\) để đường thẳng \(d: y=m(x-1)+1\) cắt đồ thị hàm số \(y=-x^{3}+3 x-1\) tại ba điểm phân biệt \(A(1 ; 1), B, C\)

A. \(0 \neq m\lt \frac{9}{4}\).

B. \(m=0\) hoặc \(m\gt \frac{9}{4}\)

C. \(m \neq 0\)

D. \(m\lt \frac{9}{4}\).

Câu 9. Gọi \(x_{1} ; x_{2}\) là hai điĉ̉m cực trị của hàm số \(y=x^{3}-3 m x^{2}+3\left(m^{2}-1\right) x-m^{3}+m\). Giá trị của \(m\) dể \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} x_{2}=7\) là

A. \(m= \pm \frac{9}{2}\).

B. \(m= \pm 2\).

C. \(m= \pm \frac{1}{2}\).

D. \(m=0\).

Câu 10 . Gọi giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \(y=x^{3}-3 x+2\) lần lượt là \(y_{C D}, y_{C T}\). Tính \(3 y_{C D}-2 y_{C T}\)

A. \(3 y_{C D}-2 y_{C T}=-12\)

B. \(3 y_{C D}-2 y_{C T}=-3\)

C. \(3 y_{C D}-2 y_{C T}=3\)

D. \(3 y_{C D}-2 y_{C T}=12\)

Câu 11. Giá trị cực đại của hàm số \(y=2 x^{3}-3 x^{2}-2\) là

A. \(\mathrm{y}_{\mathrm{CD}}=-3\).

B. \(\mathrm{y}_{\mathrm{CĐ}}=0\).

C. \(\mathrm{y}_{\mathrm{CD}}=-2\).

D. \(y_{CD}=-4\).

Câu 12 . Để hàm số \(y=x^{3}-3 x^{2}-m x+2\) có 2 cực trị thì giá trị của \(m\) là

A. \(m\lt -3\).

B. \(m\gt 3\).

C. \(m>-3\).

D. \(m \leq 3\).

Câu 13 . Cho hàm số \(y=x^{4}-3 x^{2}-1\). Khẳng định nào sau đây là đúng

A. Đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực trị.

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực đại.

C. Đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực tiểu.

D. Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Câu 14 . Gọi \(\mathrm{M}\) và \(\mathrm{m}\) lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y=x \sqrt{1-x^{2}}\) trên tập xác định. Khi đó \(\mathrm{M}-\mathrm{m}\) bằng

A. 2

B. 3

C. 1

D. đáp số khác

Câu 15 . Đồ thị sau là của hàm số nào

A. \(y=\frac{x+1}{x-2}\).

B. \(y=\frac{x-1}{x-2}\).

C. \(y=\frac{x+1}{x+2}\).

D. \(y=\frac{2 x+1}{2 x-4}\).

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ [ĐẠO HÀM ]

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1:  Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2:  Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện 

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

Bước 3:  Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán 

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi. 

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%

Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệbiệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!