Ứng dụng tích phân hàm nhiều biến

1. Định nghĩa

Cho hàm \(\mathrm{f}\) liên túc trên một khoảng \(\mathrm{K}\) và \(\mathrm{a}, \mathrm{b}\) là hai số bất kỳ thuộc \(\mathrm{K}\).

Nếu \(\mathrm{F}\) là một nguyên hàm của \(\mathrm{f}\) trên \(\mathrm{K}\) thì hiệu số : \(\mathrm{F}(\mathrm{b})-\mathrm{F}(\mathrm{a})\) được gọi là tích phân của \(\mathrm{f}\) đi từ \(\mathrm{a}\) đến \(\mathrm{b}\), ký hiệu là : \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

Có nghĩa là : \(\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)\) Gọi \(\mathrm{F}(\mathrm{x})\) là một nguyên hàm của \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) và \(\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\) thì :

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

Trong đó :

\(\mathrm{a}\) : là cận trên, b là cận dưới

\(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) gọi là hàm số dưới dấu tích phân

\(\mathrm{dx}\) : gọi là vi phân của đối số

\(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\) :Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân

2. Tính chất

1. \(\int_{a}^{a} f(x) d x=0\)

2. \(\int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\). (Gọi là tích chất đổi cận )

3. \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x\)

4. \(\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] d x=\int_{a}^{b} f(x) d x \pm \int_{a}^{b} g(x) d x\). (Tích phân củ một tởng hoặc hiệu hai tích phân bằng tổng hoặc hiệu hai tích phân ).

5. \(\int_{a}^{b} k f(x) d x=k \cdot \int_{a}^{b} f(x) d x\). (Hằng số k trong dấu tích phân, có thể đưa ra ngoài dấu tích phân được )

6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq 0 \forall x \in[a ; b]\) thì : \(\int_{a}^{b} f(x) d x \geq 0 \forall x \in[a ; b]\)

3. Ứng dụng

3.1 Tính diện tích hình phẳng

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a ; b]\); trục hoành và hai đường thẳng \(x=a ; x=b\), thì diện tích \(S\) được cho bởi công thức:

\[S=\int_{a}^{b}|f(x)| d x\]

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của \(f(x)\) trên đoạn \([a, b]\). Nếu \(f(x)\) không đổi dấu trên khoảng \((c ; d) \subset[a ; b]\) thì :

\[\int_{c}^{d}|f(x)| d x=\left|\int_{c}^{d} f(x) d x\right|\]

Chẳng hạn ta có:

\[\int_{a}^{b}|f(x)| d x=\left|\int_{a}^{c_{1}} f(x) d x\right|+\left|\int_{c_{1}}^{c_{2}} f(x) d x\right|+\left|\int_{c_{2}}^{c_{3}} f(x) d x\right|+\left|\int_{c_{3}}^{b} f(x) d x\right|\]

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y=f_{1}(x)\) và \(y=f_{2}(x)\) liên tục trên đoạn \([\mathrm{a}\);b] và hai đường thẳng \(x=a, x=b\) thì diện tích \(S\) được cho bởi công thức :

\[\int_{a}^{b}\left|f_{1}(x)-f_{2}(x)\right| d x\]

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu \(f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)\) trên đoạn \([a ; b]\) hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng \((a ; b)\), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:Bước 1: Giải phương trình: \(f_{1}(x)-f_{2}(x)=0\), tìm các nghiệm \(x_{i} \in(a ; b)\)Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

\[x_{1}\lt x_{2}\lt \ldots\lt x_{n}\]

Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

\[S=\int_{a}^{b}|f(x)| d x=\left|\int_{a}^{x_{1}} f(x) d x\right|+\left|\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) d x\right|+\ldots+\left|\int_{x_{n}}^{b} f(x) d x\right|\]

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng \(x=a, x=b\) thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi \(x_{1}, \mathrm{~b}\) được thay thế bởi \(x_{n}\).Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi \(y=f_{1}(x)=0\) hoặc \(y=f_{2}(x)=0\)Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x=g_{1}(y), x=g_{2}(y)\) liên tục trên đoạn \([c ; d]\) và hai đường thẳng \(y=c, y=d\) có diện tích được cho bởi công thức:

\[S=\int_{c}^{d}\left|g_{1}(y)-g_{2}(y)\right| d y\]

3.2 Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ \(x=a, x=b(a\lt b) . S(x)\) là diện tích của thiết diện. Thể tích của vật thể được cho bởi công thức:\(V=\int_{a}^{b} S(x) d x\) (với \(S(x)\) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn \([a ; b]\) ).

3.3 Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phă̆ng quay quanh trục \(O x\) : Cho hình phắng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) không âm và liên tục trên đoạn \([a ; b]\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\) quay quanh trục \(O x\), ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích \(V_{x}\) của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:

\[V_{x}=\pi \int_{a}^{b}[f(x)]^{2} d x .\]

b) Hình phẳng quay quanh trục \(O y\) (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x=g(y)\) không âm và liên tục trên đoạn \([c ; d]\), trục \(O y\) và hai đường thẳng \(y=c, y=d\) quay quanh trục \(O y\), ta được khối tròn xoay. Thể tích \(\mathrm{V}_{\mathrm{y}}\) của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:

\[V_{y}=\pi \int_{c}^{d}[g(y)]^{2} d y .\]

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng \(x=a, x=b\) và đồ thị hàm số \(y=f_{1}(x), y=f_{2}(x)\) liên tục và \(0 \leq f_{1}(x) \leq f_{2}(x)\) trên đoạn \([a ; b]\) quay quanh trục \(O x\) được cho bởi công thức:

\[V_{x}=\pi \int_{a}^{b}\left[\left(f_{2}(x)\right)^{2}-\left(f_{1}(x)\right)^{2}\right] d x\]

Tương tự, đổi vai trò \(x\) và \(y\) cho nhau, ta có công thức tính \(V_{y}\) (khi hình phẳng quay quanh trục \(O y\) ).

4. Cùng Examon chinh phục sự thành công

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao luyện đề lại quan trọng đến vậy? Thực tế, rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề bằng cách làm những bộ đề cũ, lỗi thời trên mạng mà không hiểu rằng chúng có thể không còn phản ánh chương trình mới và xu hướng đề thi đang thay đổi. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn dẫn đến những đánh giá sai về năng lực của mình.

Thực tế, luyện đề đúng cách mới giúp bạn hiểu rõ bản chất các dạng bài, nắm vững phương pháp làm bài và nâng cao kỹ năng. Với hệ thống đề thi thường xuyên cập nhật, Examon mang đến cơ hội luyện tập và đánh giá kỹ lưỡng cho bạn.

Tại Examon, bạn sẽ trải nghiệm quá trình luyện tập được thiết kế khoa học: Từ lựa chọn lớp học phù hợp, làm đề theo trạng thái tâm lý, đến phân tích chi tiết kết quả - mọi khâu đều nhằm giúp bạn sẵn sàng trong ngày thi quan trọng. Hãy thử ngay hệ thống đề do chuyên gia biên soạn để có kinh nghiệm thi tốt nhất!