Tích phân của hàm số chứa giá trị tuyệt đối

1. Định nghĩa

Cho hàm \(\mathrm{f}\) liên túc trên một khoảng \(\mathrm{K}\) và \(\mathrm{a}, \mathrm{b}\) là hai số bất kỳ thuộc \(\mathrm{K}\).

Nếu \(\mathrm{F}\) là một nguyên hàm của \(\mathrm{f}\) trên \(\mathrm{K}\) thì hiệu số : \(\mathrm{F}(\mathrm{b})-\mathrm{F}(\mathrm{a})\) được gọi là tích phân của \(\mathrm{f}\) đi từ \(\mathrm{a}\) đến \(\mathrm{b}\), ký hiệu là : \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

Có nghĩa là : \(\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)\) Gọi \(\mathrm{F}(\mathrm{x})\) là một nguyên hàm của \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) và \(\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\) thì :

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

- Trong đó :

\(\mathrm{a}\) : là cận trên, b là cận dưới

\(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) gọi là hàm số dưới dấu tích phân

\(\mathrm{dx}\) : gọi là vi phân của đối số

\(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\) :Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân

2. Tính chất

1. \(\int_{a}^{a} f(x) d x=0\)

2. \(\int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\). (Gọi là tích chất đổi cận )

3. \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x\)

4. \(\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] d x=\int_{a}^{b} f(x) d x \pm \int_{a}^{b} g(x) d x\). (Tích phân củ một tởng hoặc hiệu hai tích phân bằng tổng hoặc hiệu hai tích phân ).

5. \(\int_{a}^{b} k f(x) d x=k \cdot \int_{a}^{b} f(x) d x\). (Hằng số k trong dấu tích phân, có thể đưa ra ngoài dấu tích phân được )

6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq 0 \forall x \in[a ; b]\) thì : \(\int_{a}^{b} f(x) d x \geq 0 \forall x \in[a ; b]\)

3. Phương pháp

\(I = \int_{a}^{b} \left \lvert f{\left( x \right )} \right \rvert dx\).

Cho \(f(x)=0 \Rightarrow x=x_{i}\) (chỉ lấy những \(x_{i} \in(a ; b)\) ).

Khi đó \(I=\int_{a}^{x_{i}}|f(x)| d x+\int_{x_{i}}^{b}|f(x)| d x\).

Xét dấu \(f(x)\) trên các khoảng \(\left(a ; x_{i}\right)\) và \(\left(x_{i} ; b\right)\) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

4. Ví dụ minh họa

4.1. Ví dụ 1

\(I=\int_{-2}^{2}|x-1| d x\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}I=\int_{-2}^{1}|x-1| d x+\int_{1}^{2}|x-1| d x=\int_{-2}^{1}(1-x) d x+\int_{1}^{2}(x-1) d x \\ =\left.\left(x-\frac{1}{2} x^{2}\right)\right|_{-2} ^{1}+\left.\left(\frac{1}{2} x^{2}-x\right)\right|_{1} ^{2}=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}=5 .\end{array}\)

4.2. Ví dụ 2

Tính tích phân: \(I=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1-\cos 2 x} d x\).

Lời giải:

\(\begin{array}{l}I=\sqrt{2} \int_{0}^{2 \pi}|\sin x| d x=\sqrt{2} \int_{0}^{\pi}|\sin x| d x+\sqrt{2} \int_{\pi}^{2 \pi}|\sin x| d x \\ =\sqrt{2} \int_{0}^{\pi} \sin x d x-\sqrt{2} \int_{\pi}^{2 \pi} \sin x d x \\ =-\left.\sqrt{2} \cos x\right|_{0} ^{\pi}+\left.\sqrt{2} \cos x\right|_{\pi} ^{2 \pi}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}=4 \sqrt{2} .\end{array}\)

5. Cùng Examon chinh phục sự thành công

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao luyện đề lại quan trọng đến vậy? Thực tế, rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề bằng cách làm những bộ đề cũ, lỗi thời trên mạng mà không hiểu rằng chúng có thể không còn phản ánh chương trình mới và xu hướng đề thi đang thay đổi. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn dẫn đến những đánh giá sai về năng lực của mình.

Thực tế, luyện đề đúng cách mới giúp bạn hiểu rõ bản chất các dạng bài, nắm vững phương pháp làm bài và nâng cao kỹ năng. Với hệ thống đề thi thường xuyên cập nhật, Examon mang đến cơ hội luyện tập và đánh giá kỹ lưỡng cho bạn.

Tại Examon, bạn sẽ trải nghiệm quá trình luyện tập được thiết kế khoa học: Từ lựa chọn lớp học phù hợp, làm đề theo trạng thái tâm lý, đến phân tích chi tiết kết quả - mọi khâu đều nhằm giúp bạn sẵn sàng trong ngày thi quan trọng. Hãy thử ngay hệ thống đề do chuyên gia biên soạn để có kinh nghiệm thi tốt nhất!

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!