Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử \(\mathrm{F}(\mathrm{x})\) là một nguyên hàm của \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) trên đoạn \([\mathrm{a}, \mathrm{b}]\). 

Hiệu số \(\mathrm{F}(\mathrm{b})-\mathrm{F}(\mathrm{a})\) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a, b] của hàm số \(\mathrm{f}(\mathbf{x})\), kí hiệu \(\int^{b} f(x) d x\)

\(\int_{a}^{b} k f(x) d x=k \int_{a}^{b} f(x) d x\)

\(\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] d x=\int_{a}^{b} f(x) d x \pm \int_{a}^{b} g(x) d x\)

\(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x\)

Thực hiện theo hai bước:

+ Bước 1: Xác định công thức tính diện tích thiết diện \(S(x)\) (hoặc \(S(y)\) ) thông thường chúng ta gặp thiết diện là các hình cơ bản.

+ Bước 2: Khi đó:

 \(V=\int_{a}^{b} S(x) d x\) (hoặc \(V=\int_{a}^{b} S(y) d y\) )

Ví dụ minh họa: 

Tính thể tích của vật thể:

a. Nằm giữa hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=\frac{\pi}{2}\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(O x\) tại điểm có hoành độ \(x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)\) là một hình vuông cạnh \(\sqrt{\sin ^{3} x}\).

b. Nằm giữa hai mặt phẳng \(x=1\) và \(x=4\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(O x\) tại điểm có hoành độ \(x(1 \leq x \leq 4)\) là một tam giác đều cạnh là \(\sqrt{x}-1\).

Lời giải:

a. Diện tích thiết diện \(S(x)\) được cho bởi:

Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:

\(V=\int_{-1}^{1} S(x) d x=\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi / 2}(3 \sin x-\sin 3 x) d x\)

\(=\left.\frac{1}{4}\left(-3 \cos x+\frac{1}{3} \cos 3 x\right)\right|_{0} ^{\pi / 2}=\frac{2}{3}\).

b. Diện tích thiết diện \(S(x)\) được cho bởi:

Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:

\(V=\int_{-1}^{1} S(x) d x=\frac{\sqrt{3}}{4} \int_{1}^{4}(x-2 \sqrt{x}+1) d x\)

\(=\left.\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2} x^{2}-\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}+x\right)\right|_{1} ^{4}=\frac{7 \sqrt{3}}{24}\)

+ Dạng 1.1: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền \((D)\) giới hạn bởi \(y=f(x), x=a\), \(x=b, y=0\) khi quay quanh trục Ox:

\(V=\pi \int_{a}^{b} y^{2} d x=\pi \int_{a}^{b} f^{2}(x) d x\)

+ Dạng 1.2: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền \((D)\) giới hạn bởi \(x=f(y), y=a\), \(y=b, x=0\) khi quay quanh trục Oy:

\(V=\pi \int_{a}^{b} x^{2} d y=\pi \int_{a}^{b} f^{2}(y) d y\)

Ví dụ minh họa:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:

a. Quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=e^{x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0, x=3\).

b. Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=3-x^{2}\), trục tung và đường thẳng \(y=1\)

Lời giải:

a. Thể tích vật thể được cho bởi: 

\(V=\pi \int_{0}^{3} y^{2} d x=\pi \int_{0}^{3} e^{2 x} d x=\left.\frac{\pi}{2} e^{2 x}\right|_{0} ^{3}=\frac{\pi}{2}\left(e^{6}-1\right)\).

b. Biến đổi hàm số về dạng:

 \(y=3-x^{2} \Leftrightarrow x^{2}=3-y\) (điều kiện \(3-y \geq 0 \Leftrightarrow y \leq 3\) ).

Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi: 

\(V=\pi \int_{1}^{3} x^{2} d y=\pi \int_{1}^{3}(3-y) d y=\left.\pi\left(3 y-\frac{y^{2}}{2}\right)\right|_{1} ^{3}=2 \pi\).

+ Dạng 2.1: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền \((D)\) giới hạn bởi \(y=f(x), y=g(x)\), \(x=a, x=b\) quay quanh trục Ox:

\(V=\pi \int_{a}^{b}\left|f^{2}(x)-g^{2}(x)\right| d x\)

+ Dạng 2.2: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền \((D)\) giới hạn bởi \(x=f(y), x=g(y)\) \(y=a, y=b\) quay quanh trục Oy:

\(V=\pi \int_{a}^{b}\left|f^{2}(y)-g^{2}(y)\right| d y\)

Ví dụ minh họa:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:

a. Quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=x^{2}\) và \(y=2-x^{2}\).

b. Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=x\) và \(y=2-x^{2}\).

Lời giải:

a. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

Thể tích vật tròn xoay cần tính là:

\(V=\pi \int_{-1}^{1}\left|x^{4}-\left(2-x^{2}\right)^{2}\right| d x=\pi \int_{-1}^{1}\left|4 x^{2}-4\right| d x\)

\(=4 \pi \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right) d x=\left.4 \pi\left(x-\frac{x^{3}}{3}\right)\right|_{-1} ^{1}=\frac{16 \pi}{3}\)

b. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

Thể tích vật thể được cho bởi: