Chủ đề: Phương pháp vi phân tìm Nguyên hàm

Tìm nguyên hàm của  \(\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x\).

A. \(\frac{1}{\sin x+\cos x}+C\).

B. \(\frac{-1}{\sin x+\cos x}+C\).

C. \(\ln |\sin x+\cos x|+C\).

D. \(-\ln |\sin x+\cos x|+C\).

giải:

ta có: 

\(\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x=-\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} d x=-\int \frac{(\sin x+\cos x)^{\prime}}{\sin x+\cos x} d x\)

\(=-\int \frac{\mathrm{d}(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}=-\ln |\sin x+\cos x|+C\).

Tìm nguyên hàm  \(I=\int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x\right)^{2}} d x\).

A. \(-\frac{1}{2} \ln \left|x^{2}+2 x\right|+C\).

B. \(\frac{-1}{2 x^{2}+4 x}+C\).

C. \(\frac{1}{x^{2}+2 x}+C\).

D. \(\frac{-2}{\left(x^{2}+2 x\right)^{3}}+C\).

giải:

ta có 

\(\int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x\right)^{2}} d x=\frac{1}{2} \int \frac{2 x+2}{\left(x^{2}+2 x\right)^{2}} d x=\frac{1}{2} \int \frac{d\left(x^{2}+2 x\right)}{\left(x^{2}+2 x\right)^{2}}\)

áp dụng

\(\int \frac{d u}{u^{2}}=\frac{-1}{u}+C \Rightarrow I=\frac{-1}{2\left(x^{2}+2 x\right)}+C\).

Tìm nguyên hàm của  \(I=\int \frac{x d x}{\sqrt[3]{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\).

A. \(\frac{3}{2} \sqrt{x^{2}+1}+C\)

B. \(\frac{3}{2} \sqrt[3]{x^{2}+1}+C\).

C. \(\frac{2}{3} \sqrt[3]{x^{2}+1}+C\).

D. \(\frac{3}{2} \sqrt[3]{\left(x^{2}+1\right)^{2}}+C\).

giải

ta có

\(I=\int \frac{x d x}{\sqrt[3]{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}=\frac{1}{2} \int \frac{d\left(x^{2}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}=\frac{1}{2} \int\left(x^{2}+1\right)^{\frac{-2}{3}} d\left(x^{2}+1\right)\)

\(=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot\left(x^{2}+1\right)^{\frac{1}{3}}+C=\frac{3}{2} \sqrt[3]{x^{2}+1}+C\)

Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số\(f(x)=\frac{1+\sin x}{x-\cos x}\).

A. \(\ln |2 x-2 \cos x|\).

B. \(\ln |x-\cos x|+1\).

C. \(\frac{1}{2} \ln (x-\cos x)^{2}\).

D. \(\ln (2 x-2 \cos x)^{2}\).

giải:

ta có

\(F(x)=\frac{1+\sin x}{x-\cos x} d x=\int \frac{(x-\cos x)^{\prime}}{x-\cos x} d x\)

\(\int \frac{d(x-\cos x)}{x-\cos x}=\ln |x-\cos x|+C\)

Với \(C=\ln 2\) ta được \(F(x)=\ln |2 x-2 \cos x|\).

Với \(C=1\) ta được \(F(x)=\ln |x-\cos x|+1\).

Với \(C=0\) ta được \(F(x)=\frac{1}{2} \ln (x-\cos x)^{2}=\ln |x-\cos x|\).

Gia sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{4 \sin x-3}}\). Biết rằng \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\). Tim \(F(x)\).

A. \(F(x)=\frac{1}{2} \sqrt{4 \sin x-3}+\frac{1}{2}\).

B. \(F(x)=\sqrt{4 \sin x-3}\).

C. \(F(x)=-\frac{1}{2} \sqrt{4 \sin x-3}+\frac{3}{2}\).

D. \(F(x)=-\sqrt{4 \sin x-3}+2\).

giải:

ta có

\(F(x)=\int \frac{\cos x d x}{\sqrt{4 \sin x-3}}=\int \frac{d(\sin x)}{\sqrt{4 \sin x-3}}=\frac{1}{4} \int \frac{d(4 \sin x-3)}{\sqrt{4 \sin x-3}}\)

áp dụng

\(\int \frac{d u}{2 \sqrt{u}}=\sqrt{u}+C \Rightarrow F(x)=\frac{1}{2} \sqrt{4 \sin x-3}+C\)

do

\(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}+C=1 \Rightarrow F(x)=\frac{1}{2} \sqrt{4 \sin x-3}+\frac{1}{2}\)

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x(2+3 \ln x)^{2}}\). Biết rằng \(F\left(\frac{1}{e}\right)=1\)\(\operatorname{Tìm} F(x)\)

A. \(F(x)=\frac{1}{9 \ln x+6}+\frac{4}{3}\).

B. \(F(x)=\frac{-1}{9 \ln x+6}+\frac{2}{3}\).

C. \(F(x)=\frac{1}{3 \ln x+2}+2\).

D. \(F(x)=\frac{-1}{3 \ln x+2}\).

giải:

ta có 

\(F(x)=\int \frac{d x}{x(2+3 \ln x)^{2}}=\int \frac{d(\ln x)}{(2+3 \ln x)^{2}}\)

= \(\frac{1}{3} \int \frac{d(3 \ln x+2)}{(2+3 \ln x)^{2}}=\frac{-1}{3(3 \ln x+2)}+C\)

do 

\(F\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{-1}{-3}+C=1 \Rightarrow C=\frac{2}{3} \Rightarrow F(x)=\frac{-1}{9 \ln x+6}+\frac{2}{3}\)

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{x \sin x+(x+1) \cos x}{x \sin x+\cos x}\).

A. \(x^{2}+\ln |x \sin x+\cos x|+C\).

B. \(x+\ln |x \sin x+\cos x|+C\).

C. \(x+\frac{(x \sin x+\cos x)^{2}}{2}+C\).

D. \(x+|x \sin x+\cos x|\).

giải:

nhận xét

\((x \sin x+\cos x)^{\prime}=\sin x+x \cos x-\sin x=x \cos x\)

ta có

\(\int \frac{x \sin x+(x+1) \cos x}{x \sin x+\cos x} d x=\int\left(1+\frac{x \cos x}{x \sin x+\cos x}\right) d x=\int d x+\int \frac{x \cos x}{x \sin x+\cos x} d x\)

\(x+\int \frac{d(x \sin x+\cos x)}{x \sin x+\cos x}=x+\ln |x \sin x+\cos x|+C\)

Cho hàm số \(f(x)\) luôn dương và thỏa mãn\(f^{\prime}(x)=(2 x+1) \sqrt{f(x)}\) với mọi x thuộc R. Biết rằng \(f(2)=16\). Gía trị của \(f(1)\) bằng:

A. 2 .

B. \(\frac{5}{2}\).

C. 4 .

D. 5 .

giải

ta có

\(f^{\prime}(x)=(2 x+1) \sqrt{f(x)} \Leftrightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}=2 x+1\)

lấy nguyên hàm 2 vế ta có

\(\int \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}} d x=\int(2 x+1) d x \Leftrightarrow \int \frac{d f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}=x^{2}+x+C\)

<=> \(2 \sqrt{f(x)}=x^{2}+x+C\)

thay x = 2 ta có 

\(2 \cdot \sqrt{6}=2^{2}+2+C \Rightarrow C=2\)

thay x =1 ta có

\(2 \sqrt{f(1)}=1^{2}+1+2 \Rightarrow f(1)=\)

Vi dụ 9: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2008] Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f(2)=\) \(f^{\prime}(x)=2 x[f(x)]^{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị cùa \(f(1)\) bằng:

A. \(-\frac{35}{36}\).

B. \(\frac{-2}{3}\).

C. \(\frac{-19}{36}\).

D. \(\frac{-2}{15}\).

giải:

ta có: f'(x) = 2x \([f(x)]^{2} \Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}}=2 x\)

lấy nguyên hàm 2  vế ta có

\(\int \frac{f^{\prime}(x)}{[f(x)]^{2}} d x=\int 2 x d x \Leftrightarrow \int \frac{d[f(x)]}{[f(x)]^{2}}=x^{2}+C \Leftrightarrow \frac{-1}{f(x)}=x^{2}+C\).

mặt khác

f(x) = \(-\frac{2}{9} \Rightarrow \frac{9}{2}=2^{2}+C \Leftrightarrow C=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{-1}{f(x)}=x^{2}+\frac{1}{2}\)

mặt khác

\(f(2)=-\frac{2}{9} \Rightarrow \frac{9}{2}=2^{2}+C \Leftrightarrow C=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{-1}{f(x)}=x^{2}+\frac{1}{2}\)

thay x = 1 ta được

\(-\frac{1}{f(1)}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow f(1)=-\frac{2}{3}\).