Bất đẳng thức Tích phân

1. Bất đẳng thức Tích phân là gì?

• Bất đẳng thức Tích phân chính là một công cụ toán học dùng để so sánh các giá trị của tích phân dựa trên mối quan hệ giữa những hàm số được tích phân.

• Bất đẳng thức Tích phân là một phần quan trọng trong lý thuyết tích phân, giúp giải quyết các bài toán phức tạp và nâng cao bằng cách thiết lập giới hạn trên hoặc dưới cho các giá trị tích phân.

• Cho hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] ta có:

\(\left(\int_a^bf(x)g(x) \, dx\right)^2 \leq \int_a^bf^2(x) \, dx \cdot \int_a^bg^2(x) \, dx\)

2. Khái niệm Tích phân.

Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:

\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:

\[\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\]

Nhận xét:

• Tích phân của hàm số \(f\) từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(u) d u\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(t) d t\).

• Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\) hay \(t\).

Ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a, b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(\mathbf{S}\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy \(S=\) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

3. Tính chất.

1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\)

2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)

4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)

5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)

6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )

7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

\[\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \text { }\]

\((k\) là hằng số\()\)

8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là

\[\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .\]

9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)

10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)

Chú ý:

Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chỉ phụ thuộc vào hàm \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\), tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t\).

4. Phương pháp giải.

Áp dụng các bất đẳng thức:

+ Nếu \(f(x)\) liên tục trên \([a ; b]\) thì \(\left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leq \int_{a}^{b}|f(x) d x|\)

+ Nếu \(f(x)\) liên tục trên \([a ; b]\) và \(m \leq f(x) \leq M\) thì \(m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a)\)

+ Nếu \(f(x), g(x)\) liên tục trên \([a ; b]\) thì \(\left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x\right)^{2}\)\(\leq \int_{a}^{b} f^{2}(x) d x . \int_{a}^{b} g^{2}(x) d x\)

dấu " \(=\) " xảy ra khi và chỉ khi \(f(x)=k \cdot g(x)\).

+ Bất đẳng thức AM-GM

5. Bài tập.

5.1. Bài 1.

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0 ; 1]\), thỏa mãn \(f(1)=1, \int_{0}^{1} x^{5} f(x) \mathrm{d} x=\frac{11}{78}\) và \(\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{d}(f(x))=\frac{4}{13}\). Giá trị \(f(2)\) bằng?

A. 2 .

B. \(\frac{251}{7}\).

C. \(\frac{256}{7}\).

D. \(\frac{261}{7}\).

Hướng dẫn giải:

Theo Holder \(\left(\frac{2}{13}\right)^{2}=\left(\int_{0}^{1} x^{6} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right)^{2}\)\(\leq \int_{0}^{1} x^{12} d x . \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{13} \cdot \frac{4}{13}=\frac{4}{169}\)

\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2 x^{6} \Rightarrow f(x)\)

\(=\frac{2}{7} x^{7}+C \xrightarrow{f(1)=1} C=\frac{5}{7}\).

Vậy \(f(x)=\frac{2}{7} x^{7}+\frac{5}{7} \Rightarrow f(2)=\frac{261}{7}\).

=> Chọn đáp án D.

5.2. Bài 2.

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0 ; 1]\), thỏa mãn \(f(1)=2, f(0)=0\) và \(\int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=4\). Tích phân \(\int_{0}^{1}\left[f^{3}(x)+2018 x\right] \mathrm{d} x\). bằng?

A. 0 .

B. 1011 .

C. 2018 .

D. 2022 .

Hướng dẫn giải:

Theo Holder \(2^{2}=\left(\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right)^{2}\)

\(\leq \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=1.4=4\).

\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2 \Rightarrow f(x)\)

\(=2 x+C \xrightarrow{f(0)=0} C=0\).

Vậy \(f(x)=2 x\)

\(\Rightarrow \int_{0}^{1}\left[f^{3}(x)+2018 x\right] \mathrm{d} x=1011\).

=> Chọn đáp án B.

5.3. Bài 3.

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0 ; \pi]\), thỏa mãn \(\int_{0}^{\pi} f^{\prime}(x) \sin x \mathrm{~d} x=-1\) và \(\int_{0}^{\pi} f^{2}(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi}\). Giá trị tích phân \(\int_{0}^{\pi} x f(x) \mathrm{d} x\) bằng?

A. \(-\frac{6}{\pi}\).

B. \(-\frac{4}{\pi}\).

C. \(\frac{2}{\pi}\).

D. \(\frac{4}{\pi}\).

Hướng dẫn giải:

Theo Holder \((1)^{2}=\int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x\)

\(\leq \int_{0}^{\pi} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{\pi} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2}=1\)

\(\Rightarrow f(x)=\frac{2}{\pi} \cos x \Rightarrow \int_{0}^{\pi} x f(x) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{0}^{\pi} \frac{2 x \cos x}{\pi} \mathrm{d} x=-\frac{4}{\pi}\).

=> Chọn đáp án B.

5.4. Bài 4.

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0 ; 1]\), thỏa \(\mathrm{t} f(1)=0, \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=\frac{\pi^{2}}{8}\) và \(\int_{0}^{1} \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}\). Giá trị của tích phân \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng?

A. \(\frac{1}{\pi}\).

B. \(\frac{2}{\pi}\).

C. \(\frac{\pi}{2}\).

D. \(\pi\).

Hướng dẫn giải:

Theo Holder

\[\left(-\frac{\pi}{4}\right)^{2}=\left(\int_{0}^{1} \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right)^{2}\]

\(\leq \int_{0}^{1} \sin ^{2}\left(\frac{\pi x}{2}\right) \mathrm{d} x \cdot \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^{2}}{8}\)

\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=-\frac{\pi}{2} \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right) \Rightarrow f(x)\)

\(=\cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)+C \xrightarrow{f(1)=0} C=0\).

Vậy \(f(x)=\cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)\)

\(\Rightarrow \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi}\).

=> Chọn đáp án B.

Lời kết

Trên đây là tất cả những khiến thức, công thức và cách áp dụng công thức để giải bài tập tích phân liên quan đến Bất đẳng thức. Hy vọng qua bài viết này bạn đã hiểu hơn về dạng toán tích phân này và có thể áp dụng nó để thực hành nhé! Để học tốt và làm được nhiều dạng toán khác nhau không chỉ phải học thuộc các công thức, lý thuyết căn bản mà cần phải thực hành và giải thật nhiều bài tập. Vậy bạn có bao giờ tự hỏi, tại sao việc luyện đề lại quan trọng như vậy không?

Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.

• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!