Bài tập trắc nghiệm cấp số nhân bốn mức độ

1. Bài tập mức độ Nhận biết

Bài 1 : Cho các dãy số sau

(1) \(: u_{n}=-\frac{3^{n-1}}{5}\)

(2): \(u_{n}=3 n-1\)

(3) \(: u_{n}=\frac{2^{n}-1}{3}\)

(4) \(: u_{n}=n^{3}\)

Hỏi có bao nhiêu dãy số là cấp số nhân ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

(1) Xét dãy số : \(u_{n}=-\frac{3^{n-1}}{5}\)

Ta có: \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=-\frac{3^{n+1-1}}{5}:\left(-\frac{3^{n-1}}{5}\right)=3\)\(\Rightarrow\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(\mathrm{q}=3\).

(2). Xét dãy số: \(u_{n}=3 n-1\)

Ta có: \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3(n+1)-1}{3 n-1}=\frac{3 n+2}{3 n-1}\)\(\Rightarrow\left(u_{n}\right)\) không phải là cấp số nhân.

(3) Xét dãy số : \(u_{n}=\frac{2^{n}-1}{3}\)

Ta có: \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n}-1}\)\(\Rightarrow\left(u_{n}\right)\) không phải là cấp số nhân

(4) xét dãy số \(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n}^{3}\)

Ta có: \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{(n+1)^{3}}{n^{3}}\)

\(\Rightarrow\left(u_{n}\right)\) không phải là cấp số nhân

Chọn đáp án A

Bài 2: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với

\[u_{1}=-\frac{1}{2} ; \mathrm{u}_{7}=-32\]

. Tìm q?

A. \(q= \pm \frac{1}{2}\).

B. \(q= \pm 2\).

C. \(q= \pm 4\).

D. \(q= \pm 1\).

Lời giải

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân

Ta có:

\[\begin{array}{l}u_{n}=u_{1} q^{n-1} \Rightarrow u_{7}=u_{1} \cdot q^{6} \\\Rightarrow q^{6}=-32: \frac{-1}{2}=64 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}q=2 \\q=-2\end{array}\right.\end{array}\]

Chọn đáp án B

2. Bài tập mức độ Thông hiểu

Bài 1: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{1}=-1 ; q=-1 / 10\). Số \(\frac{1}{10^{103}}\) là số hạng thứ mấy của \(\left(u_{n}\right)\) ?

A. Số hạng thứ 103

B. Số hạng thứ 104

C. Số hạng thứ 105

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có:

\[\begin{array}{l}u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1} \Rightarrow \frac{1}{10^{103}}=-1 \cdot\left(-\frac{1}{10}\right)^{n-1}=\frac{(-1)^{n}}{10^{n-1}} \\\Rightarrow n-1=103 \Rightarrow n=104\end{array}\]

Chọn đáp án B

Bài 2: Cho cấp số nhân có \(u_{2}=1 / 4 ; u_{5}=16\). Tìm q và \(u_{1}\)

A. \(q=\frac{1}{2} ; u_{1}=\frac{1}{2}\).

B. \(q=-\frac{1}{2} ; u_{1}=-\frac{1}{2}\).

C. \(q=4 ; u_{1}=\frac{1}{16}\).

D. \(q=-4 ; u_{1}=-\frac{1}{16}\).

Lời giải

Ta có:

\[\begin{array}{l}u_{2}=u_{1} \cdot q \Leftrightarrow \frac{1}{4}=u_{1} \cdot q ; \\u_{5}=u_{1} \cdot q^{4} \Leftrightarrow 16=u_{1} \cdot q^{4}\end{array}\]

Suy ra:

\[\frac{u_{5}}{u_{2}}=\frac{u_{1} q^{4}}{u_{1} q}=q^{3}=64 \Leftrightarrow q=4 \text {. }\]

Từ đó: \(u_{1}=\frac{1}{16}\).

Chọn đáp án C

3. Bài tập mức độ Vận dụng

Bài 1 :Tính tổng sau \(S_{n}=\left(2+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(4+\frac{1}{4}\right)^{2}+\ldots+\left(2^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right)^{2}\)

A. \(\frac{4^{n}-1}{3}\left(4-\frac{1}{4^{n}}\right)+n\).

B. \(\frac{1-4^{n}}{3}\left(4-\frac{1}{4^{n}}\right)+2 n\).

C. \(\frac{4^{n}-1}{3}\left(\frac{1}{4^{n}}-4\right)+n\).

D. \(\frac{4^{n}-1}{3}\left(4-\frac{1}{4^{n}}\right)+2 n\).

Lời giải

\[\begin{array}{l}S_{n}=2^{2}+\frac{1}{2^{2}}+2+2^{4}+\frac{1}{2^{4}}+2+\ldots+2^{2 n}+\frac{1}{2^{2 n}}+2 \\=\left(2^{2}+2^{4}+\ldots+2^{2 n}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{4}}+\ldots+\frac{1}{2^{2 n}}\right)+2 n \\=4 \cdot \frac{1-4^{n}}{1-4}+\frac{1}{4} \frac{1-\frac{1}{4^{n}}}{1-\frac{1}{4}}+2 n \\=\frac{4^{n}-1}{3}\left(4-\frac{1}{4^{n}}\right)+2 n .\end{array}\]

Chọn đáp án D

Bài 2: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) thỏa mãn : \(\left\{\begin{array}{c}u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}=11 \\ u_{1}+u_{5}=\frac{82}{11}\end{array}\right.\)

Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số

A. \(q=3 ; u_{n}=\frac{3^{n-1}}{11}\)

B. \(q=\frac{1}{3} ; u_{n}=\frac{81}{11} \cdot \frac{1}{3^{n-1}}\)

C. Cả \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) đúng

D. Cả A, B sai

Lời giải

Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}=11 \\u_{1}+u_{5}=\frac{82}{11}\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { u _ { 2 } + u _ { 3 } + u _ { 4 } = \frac { 3 9 } { 1 1 } } \\{ u _ { 1 } + u _ { 5 } = \frac { 8 2 } { 1 1 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u_{1}\left(q+q^{2}+q^{3}\right)=\frac{39}{11} \\u_{1}\left(1+q^{4}\right)=\frac{82}{11}\end{array}\right.\right.\end{array}\]

Suy ra: \(\frac{q^{4}+1}{q^{3}+q^{2}+q}=\frac{82}{39} \Leftrightarrow 39 q^{4}-82 q^{3}-82 q^{2}-82 q+39=0\)

\(\Leftrightarrow(3 q-1)(q-3)\left(13 q^{2}+16 q+13\right)=0 \Leftrightarrow q=\frac{1}{3}, q=3\)

- \(q=\frac{1}{3} \Rightarrow u_{1}=\frac{81}{11} \Rightarrow u_{n}=\frac{81}{11} \cdot \frac{1}{3^{n-1}}\)- \(q=3 \Rightarrow u_{1}=\frac{1}{11} \Rightarrow u_{n}=\frac{3^{n-1}}{11}\).

Chọn đáp án C

4. Bài tập mức độ Vận dụng cao

Bài 1: Cho bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ nhất 35 , còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560 . Tìm số hạng thứ 4 ?

A. \(\frac{-1140}{3}\) hoặc 1268 .

B. \(\frac{-560}{3}\) hoặc 648 .

C. \(\frac{-1240}{7}\) hoặc -228 .

D. \(\frac{-2240}{3}\) hoặc -448 .

Lời giải

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}u_{1}-u_{2}=35 \\ u_{3}-u_{4}=560\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u_{1}-u_{1} \cdot q=35 \\ u_{1} \cdot q^{2}-u_{1} \cdot q^{3}=560\end{array}\right.\right. \\ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1}(1-q)=35 \\ u_{1} q^{2}(1-q)=560\end{array}\right.\end{array}\)

Thay (1) vào (2) ta được:

\[\begin{array}{l}35 . \mathrm{q}^{2}=560 \\\Leftrightarrow \mathrm{q}^{2}=16 \Leftrightarrow q= \pm 4\end{array}\]

* Với \(q=4\) thay vào (1) được

\[\begin{array}{l}u_{1}=-\frac{35}{3}, u_{2}=u_{1} q=-\frac{140}{3}, \\u_{3}=-\frac{560}{3}, u_{4}=-\frac{2240}{3}\end{array}\]

* Với \(q=-4\) thay vào (1) ta được :

\[\begin{array}{l}u_{1}=7 ; u_{2}=-28 ; \\u_{3}=112 ; u_{4}=-448\end{array}\]

Vậy số hạng thứ tư của cấp số nhân là: \(\frac{-2240}{3}\) hoặc -448 .

Bài 2: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=2\) và \(u_{1}-12 u_{2}-6 u_{3}\) đạt giá trị lớn nhất. Tìm số hạng thứ 8 của cấp số nhân đã cho.

A. \(\mathrm{u}_{8}=8\)

B. \(\mathrm{u}_{8}=2\)

C. \(_{8}=-2\)

D. \(\mathrm{u}_{8}=-8\)

Lời giải:

* Trước tiên ta đi tìm công bội của cấp số nhân.

Gọi q là công bội của cấp số nhân ( \(u_{n}\) )

Ta có

\[\begin{array}{l}u_{1}-12 u-6 u_{3}=2-12.2 q-6.2 q^{2} \\=-12 q^{2}-24 q+2=-12(q+1)^{2}+14 \leq 14 \forall q .\end{array}\]

Do đó để \(u_{1}-12 u_{2}-6 u_{3}\) đạt giá trị lớn nhất thì \(q=-1\).

* Số hạng thứ 8 của cấp số nhân đã cho là: \(u_{8}=u_{1} \cdot q^{7}=2 \cdot(-1)^{7}=-2\).

Chọn C.

5. Bứt phá điểm số cùng Examon

Như vậy, bài viết này Examon đã chia sẻ cho các bạn một số bai tập về Bài tập trắc nghiệm cấp số nhân bốn mức độ. Bạn có thể tham khảo và áp dụng vào bài làm của mình. Mong rằng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn. Cảm ơn bạn đã lựa chọn Examon là nơi để tham khảo và học hỏi kiến thức.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!