Cho elip $(E): \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1$. Tìm điểm $M$ thuộc $(E)$ sao cho góc $F_{1} M F_{2}=60^{\circ}$ với $F_{1}, F_{2}$ là hai...

Q: Cho elip $(E): \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1$. Tìm điểm $M$ thuộc $(E)$ sao cho góc $F_{1} M F_{2}=60^{\circ}$ với $F_{1}, F_{2}$ là hai...

$M \in(E)$. Ta có $M F_{1}=2+\frac{\sqrt{3}}{2} x, M F_{2}=2-\frac{\sqrt{3}}{2} x$.$F_{1} F_{2}^{2}=M F_{1}^{2}+M F_{2}^{2}-2 M F_{1} M F_{2} \cos 60^{\circ} \Leftrightarrow 12=4+\frac{9}{4} x^{2} \Leftrightarrow x= \pm \frac{\sqrt{32}}{3} .$Vì $M \in(E)$ nên $x= \pm \frac{\sqrt{32}}{3} \Rightarrow y= \pm \frac{1}{3}$.$\Rightarrow M_{1}\left(\frac{\sqrt{32}}{3} ; \frac{1}{3}\right), M_{2}\left(\frac{\sqrt{32}}{3} ;-\frac{1}{3}\right), M_{3}\left(-\frac{\sqrt{32}}{3} ;-\frac{1}{3}\right), M_{4}\left(-\frac{\sqrt{32}}{3} ;-\frac{1}{3}\right) \text {. }$

Question

Accepted Answer

$M \in(E)$. Ta có $M F_{1}=2+\frac{\sqrt{3}}{2} x, M F_{2}=2-\frac{\sqrt{3}}{2} x$.

$F_{1} F_{2}^{2}=M F_{1}^{2}+M F_{2}^{2}-2 M F_{1} M F_{2} \cos 60^{\circ} \Leftrightarrow 12=4+\frac{9}{4} x^{2} \Leftrightarrow x= \pm \frac{\sqrt{32}}{3} .$

Vì $M \in(E)$ nên $x= \pm \frac{\sqrt{32}}{3} \Rightarrow y= \pm \frac{1}{3}$.

$\Rightarrow M_{1}\left(\frac{\sqrt{32}}{3} ; \frac{1}{3}\right), M_{2}\left(\frac{\sqrt{32}}{3} ;-\frac{1}{3}\right), M_{3}\left(-\frac{\sqrt{32}}{3} ;-\frac{1}{3}\right), M_{4}\left(-\frac{\sqrt{32}}{3} ;-\frac{1}{3}\right) \text {. }$

Đề thi cuối kì 2 (Cấu trúc mới) - CD - Đề số 3 - MĐ 9793